第１７回 ひずみテンソル

第１７回　ひずみテンソル

固体内の１点Pが外力を受けてP'に移動したとする。

とおき、点Pの座標をとすると、vはの関数になる。

また、点Pの近くの点Qの座標をとし、外力を受けて点QがQ'に移動したとする。

とすれば、

だから、点Pに対する点Qの相対的な変位は

となる。

vの成分をとし、２次の項を無視すると、

はテンソルの成分だから、とおくと、（１）式は

テンソルを

と対称テンソル、交代テンソルを用いて

とすると、相対的変位は

となる。

は交代テンソルだから

とおくと、はベクトルの成分となり、これを成分とするベクトルをwとすれば、

よって、（２）式の右辺第１項は変位に伴う純粋な歪をあらわし、第２項はのまわりを回転する起きる変位と考えることができる。したがって、歪は対称テンソルで表されると考えられる。

これを行列で表わせば、

である。

は対称テンソル。その主方向を歪の主方向といい、その成分を係数とするテンソル２次曲面

をひずみの２次曲面という。ひずみテンソルの主値をS¹、S²、S³とし、座標軸の方向を主方向にとるとき、ひずみテンソルの成分は

になる。

また、ひずみを表すテンソルが対称テンソルであるとき、

であるから、このとき、

となるポテンシャルφが存在する。

このとき、ひずみテンソルの成分は、

となり、このφをひずみポテンシャルという。

問　直交座標系O-xyzにおいて、ひずみポテンシャルφが

であるとき、O-xyzに関するひずみテンソルを求めよ。

【解】

したがって、ひずみテンソルは