第１１回 行列を用いてテンソルを表現すると１

第１１回　行列を用いてテンソルを表現すると１

任意の点Pの直交座標軸x¹、x²、x³軸に関する座標をx¹、x²、x³、また、直交座表示x'¹、x'²、x'³軸に関する座標をx'¹、x'²、x'³とすれば、

とあらわすことができる。

x¹、x²、x³軸の基本ベクトルe₁,e₂、e₃、x'¹、x'²、x'³軸の基本ベクトルe'₁,e'₂,e'₃との間には

という関係がある。

（１）式の左辺にこれを代入すると、

（３）式を行列を用いて表現すると、

となる。

問　直交軸の変換（２）によって

となることを示せ。

【解】

（３）より

第１式、第２式、第３式にそれぞれを掛け、辺々を加えれば、

よって、

（解答終）

なお上の計算では、

などが使われている。

ここで、

すなわち、クロネッカーのデルタである。

（５）式を行列を用いて表現すると、

となる。

ここで、（４）の行列を

とおくと、行列Aの成分とすると、

という関係がある。

そして、この行列Aの行と列を入れ替えた行列、すなわち、転置行列は

となり、（６）式に現れる行列になる。

したがって、（４）式は、この行列Aを用いると、

さらに、（６）式は

である。

（８）式に（９）式を代入すると、

となり、Aは直交行列である。

なお、ここでIは単位行列

そして、行列Aの逆行列をA⁻¹とすると、

である。

問の解は、クロネッカーのデルタなどを使っていて非常にわかりづらいと思うけれど、実は、

と同じ計算を行っているのであった。

そして、この結果を成分について書くと、

となるのであった。