テンソルの成分変換に関する簡単な問題

テンソルの成分変換に関する簡単な問題

問題

直交座標系O-x¹x²に関するテンソルTの成分を

とする。

x¹軸、x²軸を原点Oを中心に反時計回りに90°回転したものをx'¹軸、x'²軸とするとき、直交座標系O-x'¹x'²に関するテンソルTの成分を求めよ。

【解】

x¹、x²軸の基本ベクトルをe₁、e₂、そして、x'¹、x'²軸の基本ベクトルをe'₁、e'₂とする。さらに、e'₁、e'₂の方向余弦をとする。

x'¹軸、x'²軸はx¹軸、x²軸を原点Oを中心に反時計回りに90°回転したものだから、

したがって、

よって、この変換によってテンソルTの成分は

になる。

（解答終）

上で求めた行列Aは直交行列だから、

が成立するので、Aの転置行列は

でもある。

したがって、Aが２×２の行列ならばこの性質を用いて

と求めることができる。

もちろん、行列を用いず、テンソルの成分の変換公式

を用いてもよい。

この場合、

となるので、

よって、