２次形式の正定値、負定値と極値の判定

２次形式の正定値、負定値と極値の判定

p、q、rを実数とする。

x、yの２次同次式

を２次形式という。

が成り立つとき、f(x,y)は正定値であるといい、

が成り立つとき、f(x,y)は負定値という。

p≠0のとき、２次形式は

と変形できる。

したがって、次の定理が成り立つ。

定理　（２次形式の正定値、負定値）

２次形式は

　（１）　p>0、pr−q²>0ならば、正定値

　（２）　p<0、pr−q²>0ならば、負定値

　（３）　pr−q²<0ならば、正定値でも負定値でもない

【証明】

p≠0のとき、２次形式を平方完成すると、

（１）　p>0、pr−q²>0のとき、

したがって、２次形式F(x,y)は正定値である。

（２）　p<0、pr−q²<0のとき、

したがって、２次形式F(x,y)は負定値である。

（３）　p≠0のとき、

よって、pr−q²<0ならば、F(1,0)とF(q,−p)は異符号になる。

p=0のとき、

したがって、p=0のとき、

となり、これはすべての実数値をとる。

したがって、pr−q²<0のとき、F(x,y)は正定値でも負定値でもない。

（証明終）

ところで、２次形式F(x,y)=px²+2qxy+ry²は行列を用いると次のように書き換えることができる。

そして、実対称行列の行列式は

である。

したがって、先の定理は

２次形式は、

とし、その行列式を｜A｜とするとき、

（１）　p>0、｜A｜>0ならば、正定値

（２）　p<0、｜A｜>0ならば、負定値

（３）　｜A｜<0ならば、正定値でも負定値でもない

と言い換えることができる。

行列は実対称行列なので、この行列の固有値は必ず実数である。

そこで、次に、この行列の固有値との関係を調べてみることにする。

行列Aの固有方程式（特性方程式）は

この２次方程式の判別式をDとすると、

したがって、固有方程式の解は実数である。

この解をλ₁とλ₂とすると、解と実数の関係より、

p>0、pr−q²>0のとき

である。

したがって、

である。

λ₁λ₂>0だから、λ₁とλ₂は同符号。また、λ₁+λ₂>0だから、λ₁>0、λ₂>0である。

逆にλ₁とλ₂が正のとき、p>0、pr−q²>0である。

したがって、行列Aの固有値がともに正であるとき、２次形式F(x,y)は正定値である。

同様に、行列Aの固有値がともに負であるとき、２次形式F(x,y)は負定値となる。

さらに、pr−q²<0のとき、

となり、λ₁とλ₂は異なる符号を持つことになり、このとき２次形式F(x,y)は正定値、負定値でもないということになる。

関数f(x,y)をC²級の関数とする。このとき、テーラーの定理から

となる（ξ,η)が点(a,b)と点(x,y)となる直線上に存在する。

f(x,y)が点(a,b)で極値を取るとき、

であるから、

となる。

f(x,y)はC²級だから、点(a,b)の近傍では、とは同符号。

そこで、

さらに、

とおくと、

は２次形式となる。

よって、

のとき、F(x,y)は正定値である。

したがって、

となり、f(a,b)は極小値である。

同様に、

のとき、２次形式F(x,y)は負定値。

そして、このことから、点(a,b)の近傍で

となり、f(a,b)は極大値と判定することができる。