第１９回 ひずみテンソルと応力テンソルの関係

第１９回　ひずみテンソルと応力テンソルの関係

§１　ひずみテンソルと応力テンソルの関係

弾性体が変形し、その相対的な変位がvであるとする。このとき、ひずみテンソルΦの成分は

となる。

等方的な弾性体では、応力テンソルΨとひずみテンソルΦの主軸は同じと考えられるので、ΦとΨの共通な主軸の方向の長さ１のベクトルをa、b、cとする。ひずみテンソルの主値と応力テンソルの主値をそれぞれε₁、ε₂、ε₃、σ₁、σ₂、σ₃としたとき、

という関係が成り立つものとする。

等方的なので、

と考えられので、（１）式を

と変形することができる。

ここで、

とすれば、（２）式は

また、

は不変量で、体積膨張率である。

したがって、

である。

同様に、

つまり、

である。

このλ、μをLamé（ラメ）の定数と呼ぶ。

また、応力テンソルΨは

これに（３）式を代入すると、

単位テンソルをIとすると、

また、

だから、

ひずみテンソルの成分を、応力テンソルの成分をとすると

となる。

テンソル積と単位テンソルを行列で表すと、

だから、

また、

§２　弾性体の釣り合い

弾性体内の各点の密度ρに比例した力ρKが単位体積あたりに働いているとする。さらに、弾性体の変形にともなう応力テンソルをΨとする。

弾性体内の任意の領域をVとし、その表面をS、Sの外法線ベクトルをnとする。

このとき、力の釣り合いは

（テンソルの）ガウスの発散定理から

Vは任意に選べるので、

となる。

これが弾性体の釣り合いの方程式である。

Kの成分を、Ψの成分をとすると、

特に、K=0のとき、

つまり、

である。

弾性体が等方的であるとき、

となるので、

よって、（６）式は

となる。