2017年10月18日水曜日

第15回 ベクトル場の微分

第15回 ベクトル場の微分


ベクトル場をとし、で偏微分して得られる9個の関数は
はテンソルの成分である。これをベクトル場偏微分係数という。

【2次のテンソルであることの証明】
直角座標の変換
によって
になるとする。
(2)の両辺をで偏微分すると、
ここで、
だから、
したがって、はテンソルである。
(証明終)


をスカラー関数とすれば、はベクトルである。したがって、は2次のテンソルである(※)。
また、φが2回連続微分、すなわち、級であるとき、
が成立するので、は対称テンソルである。

例 ベクトルの発散
は、2次のテンソルを縮約したものだから、2−2=0次のテンソル、すなわち、スカラーである。
また、テンソルの対称成分は、
の反対称成分は
だから、はベクトルの成分。
よって、
とおき、ベクトルvwで表せば、
である。

(※)
だから、
となり、はベクトル(1次のテンソル)。
ここで、
とおけば、
が2次のテンソルであることが示される。

問 をスカラー関数とするとき、
がスカラーであることを示せ。
【解】
は2次のテンソル。
(4)は、i=jとして、これを縮約したものだから、2−2=0次のテンソル、すなわち、スカラーである。
(解答終)


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