連立方程式の解法１ 掃き出し法

連立方程式の解法１　掃き出し法

次の連立３元方程式を例に、数値計算で用いられる、連立方程式を解くための掃き出し法――中学で習う連立方程式の解法の一つである、加減法とほとんど同じもの――について説明する。

まず、係数だけを取り出し、次のような表（行列）を作る。

①に1/2を掛けて、xの係数を1にする。

次に、②、③のxの係数を0にするために、②−5×①’、③−３×①’を計算する。

②の係数を１にするために、②’に−2/11を掛ける。

①’と③’のyの係数を０にするために、

①’−3/2×②’’、③’−1/2×②’’を計算する。

③’’のzの係数を１にするために、
③’’×11/94を計算する。

①’’と②’’のzの係数を０にするために、

①’’−7/11×③’’’、②’’+1/11×③’’’を計算する。

①’’’、②’’’、③’’’を連立方程式の形に書き換えると、

だから、この連立方程式の解は(x,y,z)=(1,1,0)である。

要するに、連立方程式

の係数行列を

を単位行列

に変形することによって連立方程式の解(x,y,z)を求める方法を掃き出し法という。

連立３元方程式だと書くのが大変なので、次の連立２元方程式を掃き出し法で、もう一度、解くことにする。

係数だけを取り出すと次のようになる。

①×1/2

②−３×①’

(-2/25)×②’

①’−7/2×②’’

よって求める解は

この作業をコンピュータにさせるためにプログラムを書くことは大変そうだけど、実は、簡単に書けてしまう。

Fortranによるサンプルプログラムを以下に示す。

! 掃き出し法で連立方程式を解く

real a(50,51)

! sample data

a(1,1)=2; a(1,2)=3; a(1,3)=1; a(1,4)=4

a(2,1)=4; a(2,2)=1; a(2,3)=-3; a(2,4)=-2

a(3,1)=-1; a(3,2)=2; a(3,3)=2; a(3,4)=2

n=3 ! ３元連立方程式だからn=3

call hakidashi(a,n) ! 掃き出し法を呼び出す

do i=1, n

write(6,100) 'x(',i,')=', a(i,n+1)

end do

100 format(a,i2, a,f10.6)

end

! 掃き出し法

subroutine hakidashi(a,n)

real a(50,51)

do k =1, n

p= a(k,k)

do j=k+1, n+1

a(k,j)= a(k,j)/p

end do

do i=1, n

if (i.ne.k) then

do j=k+1, n+1

a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j)

end do

end if

end do

end do

end

解いているのは、次の連立方程式。

上のプログラムは、より一般の

すなわち、

も解けるようになっている。

プログラム使用上の注意は、をに格納し、サブルーティンhakidashiを呼び出し後には、解がに格納されていること。

これは、連立方程式（１）を

という行列に置き換え、この行列の操作によって連立方程式の解を求めているためで、この行列のn+1列目に

ためである。