第９回 対称テンソルの続き

第９回　対称テンソルの続き

をテンソル、λを固有値、を固有ベクトルとするとき、固有方程式は次のようになる。

テンソルが対称テンソルのとき、上の固有方程式の解はすべて実数である。そして、重複解の個数により、主方向は次のようになることが知られている。

（ⅰ）　固有方程式の解T¹、T²、T³がすべて異なるとき、対称テンソルの主方向は３つ存在し、それぞれが垂直である。

（ⅱ）　固有方程式の解T¹、T²、T³の解が２つ等しいとき、T¹≠T²=T³とすれば、 T¹に対応する主方向に垂直な方向はすべてテンソルの主方向である。

（ⅲ）　固有方程式の解T¹、T²、T³が全て等しいとき、任意の方向が主方向である。

そして、３つの主方向の方向に座標軸の向きをとり、その主値をT¹、T²、T³とすれば、対称テンソルの成分は

となる。

問　つぎのテンソルの主値と主方向を求めよ。

【解】

（１）　固有方程式は

したがって、固有ベクトルをとすると、

λ=1のとき、②式、③式より

したがって、この主方向は

λ=2のとき、②式よりv¹=0。①より、v³=−v²。

したがって、この主方向は

λ=4のとき、②、③式より、

となるので、このときの主方向は

（２）　固有方程式は

したがって、

λ=4のとき、

になるので、このときの主方向は

λ=1は重根なので、上で求めた主方向に垂直なベクトルを主方向に取ることができる。

そこで、に垂直な

を一つ選ぶ。

さらに、残りの１つである、に垂直なベクトルを求めるために外積を用いると

したがって、

λ=4のとき、

λ=1のとき、

（解答終）