2016年12月29日木曜日
第６回 独立試行の確率と２項分布の問題
第６回 独立試行の確率と２項分布の問題
問題１ ❍、☓で答える６つの問題が与えられている。いまこの解答にするのに何も考えずにでたらめに❍、×をつけるとき、そのうちの正解数をXとする。
（１） X≧3になる確率を求めよ。
（２） Xの平均値（期待値）と標準偏差を求めよ。
【解】
正解数の分布は２項分布
。
。
（１）
（２） 平均値mと標準偏差σは
（解答終了）
問題２ 日本人の血液型の１０人に３人の割合がO型である。５人の日本人を選んだとき、そのうちのO型の人数をXとする。
（１） Xはどのような分布に従うか。
（２） Xの期待値と標準偏差を求めよ。
（３） 南方系のある人種から５人を選んだとき、そのうちの４人が O型であった。この人種が日本人よりもOがたが多いと判定したときの危険率を求めよ。
【解】
（１） ２項分布B(5,0.3)に従う。
（２） 平均値をm、標準偏差をσとすると、
（３） 日本人とO型の割合が等しいと仮定する。
つまり、p=0.3として、P(X≧4）の確率を計算すると
よって、危険率は3%である。
（解答終了）
危険率については検定であらためて説明することにするが、
「南方系のある人種の人たちに占めるO型のヒトの割合が日本人のそれと等しい」という仮説を立てると、５人中４人がO型である確率は0.03で非常にまれなことが起きているということになる。
問題３ さいころを５０回投げるとき、１の目が出る回数をXとする。
（１） Xがいくらのとき確率は最大になるか。
（２） Xの平均値を求め、（１）で求めた値と比較せよ。
【解】
１の目が出る回数は２項分布
に従う。
に従う。
（１） X=kのとき確率が最大とすると、
よって、８回のとき最大。
（２） 平均値（期待値）は
８は平均50/6に最も近い整数である。
（解答終了）
2016年12月28日水曜日
第５回 独立試行と二項分布
第５回 独立試行と二項分布
１回の試行で事象Aの起こる確率をpとすると、この試行をn回繰り返した場合、事象Aがr回起こる確率
は
は
である。
問１ 袋の中に赤球１個、白球４個が入っている。この中から１個取り出して、もとに戻すことを３回繰り返す。この場合、赤の出る回数をXとして、Xの確率分布を求めよ。
【解】
取り出した球を戻すので、赤球の出る確率p=1/5、白球の出る確率q=4/5。
この問題の場合n=3。
Xの取りうる値は0、1、2、3。
X=rの時の確率をP(X=r)と書くことにすると、
したがって、確率分布は次のようになる。
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
計
|
| 確率 | 64/125 | 48/125 | 12/125 | 1/125 | 1 |
（解答終了）
この問題には出ていないけれど、赤球の出る回数rの期待値mは
である。
§２ ２項分布
変量Xが0、1、・・・・・・、nの値をとり、それらの値をとる確率が
で与えられる確率分布を２項分布という。
その平均・期待値m、標準偏差σは
である。
（２）、（３）を使えば、問１の平均値、標準偏差は
と、複雑な計算をすることなく、すぐに求めることができる。
【（２）の証明】
２項定理より
xで微分すると、
x=1を代入すると、
p+q=1だから
（証明終わり）
【（３）の証明】
また、
よって、
ここで、①の両辺をxで微分すると、
x=1を上式に代入すると、
これを②に代入すると、
（証明終わり）
問２ １０％の不合格品を含む同じ製品の一山がある。この中から任意に４個を取り出すとき、その中に含まれる不良品の数Xで確率分布の表で示し、Xの平均値、標準偏差を求めよ。
【解】
X=rである確率
は
は
したがって、確率分布表は
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
計
|
確率
|
0.6561
|
0.2916
|
0.0486
|
0.0036
|
0.0001
|
1
|
したがって、平均値=0.4、標準偏差=0.6
（解答終了）
問題 １回の試行で事象Aの起こる確率がpであるとき、n回の試行の内、事象Aが最も起こりやすい回数を求めよ。
【解】
r=kのとき、確率
が最大になるとすると、
が最大になるとすると、
したがって、
そこで、①より
②に対しては、③のkをk+1と置き換えて、不等号の向きを入れ替えると、
③と④より、
を満たす整数kのとき、事象Aは最も起こりやすい。
（解答終了）
問３ １個のさいころを４０回投げるとき、１つの目が何回出る確率が最も高いか。
【解】
n=40、p=1/6。
（４）より
よって、６回のとき確率は最大になる。
（解答終了）
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