確率の初歩 条件付き確率と事象の独立

確率の初歩　条件付き確率と事象の独立

§１　条件付き確率と事象の独立

（１）　条件付き確率

ある試行において、事象Aが起こったときの事象Bの起こる確率を条件付き確率といい、であらわす。

例１　箱の中に７個の白玉、３個の赤玉が入っており、取った玉は箱に戻さないことにする。

そして、１回目に赤玉を引く事象をA、２回目に赤玉を引く事象をBとすると、AとBの積事象A∩Bは１回目、２回目ともに赤玉を引く事象ということになる。

赤玉を２度引く組み合わせの数は通り、すべての組み合わせの数はだから、２回とも赤玉が出る確率P(A∩B)は

したがって、１回目に赤玉が出たあとの２回目に赤玉を引く確率、条件付き確率は（１）より

となる。

これは、次のように考えることもできる。

１回目に赤玉が１個出たので、残り９個の玉の内の２個が赤玉。

したがって、１回目に赤玉が出た事象に引き続いて赤玉が出る事象が起きる確率は

また、

だから、

である。

例２　コインを２度投げるとする。

１度目に表の出る事象をA、２度目に表の出る事象をBとすると、２度とも表の出る事象はA∩B。

この場合、P(B)=1/2だから、

である。

問題１　ボルト工場において、機械A、Bは全体の６０％、４０％を作り、その製品のうちそれぞれ２％、５％が不良品であるとする。

製品の中から任意の一本のボルトが選ばれるとする。

（１）　そのボルトが不良品である確率を求めよ。

（２）　その不良品が機械Aで作られた確率を求めよ。

【解】

（１）　機械A、Bで製品が作られた事象をA、B、不良品である事象をCとすると、

したがって、

（２）

　

（解答終了）

解いただけです。

問題１の解を読んで何をやっているかわからなくても、悲観しないでください。

これはそういう問題ですから。

（２）　事象の独立

２つの事象A、Bがあって、一方の事象が他方の確率に影響を与えないとき、すなわち、

が成り立つとき、AとBは独立である、独立事象であるという。

§２　乗法定理

（１）　任意の事象A、Bについて

（２）　２つの事象A、Bが独立であるための必要十分な条件は

問　さいころを１回振る。事象Aと事象Bは独立か従属かを答えよ。

（１）　A：２の倍数が出る　　B:３以上の目が出る

（２）　A:３の倍数が出る　　B：３以上の目が出る

【解】

（１）

よって、独立である。

（２）

よって、独立でなく、従属である。

（解答終了）

§３　独立試行の確率

１回の試行で事象Aの起こる確率がpであるとすると、この試行をn回独立に繰り返した場合、事象Aがr回起こる確率は

である。

例　コインを５回投げるとする。このとき、表の出る確率pはp=1/2。

したがって、表が３回出る確率は

である。

問　１枚の硬貨を何回も投げてゆき、表の出た回数が２になったところでやめにする。ちょうど１０回投げたところで止めになる確率を求めよ。

【解】

ちょうど１０回で止めになるのは、９回までに表が１回出て、ちょうど１０回目に２回目の表が出る場合。

表の出る確率は1/2で、表が１回、裏が８回出る確率は

１０回目に表が出る確率は1/2だから、ちょうど１０回目で終わりになる確率は

（解答終了）