第８回 確率の初歩６ 問題編３

第８回　確率の初歩６　問題編３

問題１　熊を射ちに行った猟師がある。ねらった銃弾が命中する確率が1/3であるとすると、何発かの弾丸を射って、少なくとも１発命中する確率が0.9以上にするには、何発射てばよいことになるか。

ただし、とする。

【解】

n発中少なくとも１発命中する事象は、n発全弾外す事象の余事象である。

ねらった銃弾が命中しない確率は

したがって、n発全弾が命中しない確率は

したがって、n発中射った弾が少なくとも１発命中する確率は

これが0.9以上にならばよいので

両辺の常用対数を取ると

よって、６発。

（解答終了）

問題２　ある高等学校で生徒の血液型を調べたら、O型の者が３０％、A型の者が４０％であった。この高等学校の生徒３人を無作為に選び出すとき、次の確率を求めよ。

（１）　少なくとも１人がA型である確率

（２）　２人がA型で１人がO型である確率

（３）　１人がA型、１人がO型、残りの１人がA型でもB型でもない確率。

【解】

（１）　３人ともA型でない確率は

よって、少なくとも１人がA型である確率は

（２）　３人の内、２人がA型、１人がO型である順列の数は

だから、３通り。

したがって、２人がA型で１人がO型である確率は

（３）　１人がA、１人がO型、１人がA型でもO型でもない順列の数は3！=6。

したがって、この確率は

（解答終了）

（２）、（３）の補足説明をする。

（２）　選んだ３人が(A,A,O)の順だとする。生徒数が多ければ１人くらい抜き出しても、生徒に占めるA型の生徒の割合はほとんど変わらない、等しいとみなすことができる。

したがって、この確率は

と考えることが可能。

この他に、(A,O,A）、(O,A,A)の２通りがあり、それぞれの確率が

となる。

つまり、①を３倍したものがこの確率になるというわけ。

（３）は、A（割合0.4）、O（割合0.3）確率、AでもOでもない人（割合0.3）の並び、順列が3!=6通りあるので

を６倍したものが、その確率となる。

問題３　２０歳の男子が３０年以上生存する確率を2/3として、２０歳の男子４人のうち、３人以上が３０年以上生存する確率を求めよ。

【解】

４人のうち３人が３０年以上生存する確率P₃は

４人が３０年以上生存する確率P₄は

したがって、４人のうち３人以上が３０年以上生存する確率は

（解答終了）

問題４　n（n≧2）個の正しく作られた硬貨を同時に投げるとき、”すくなくともn−1個裏が出る”という事象をA、”すくなくとも１回表が出るが全部表でない”という事象をBとし、AかつBという事象をA∩Bとあらわすことにする。

（１）　を求めよ。

（２）　事象AとBが独立、従属であるときの自然数nを求めよ。

【解】

（１）　事象Aは表が０または１個出る事象だから

また、事象Bは、”n個が全部裏”または”n個全部が表”である事象の余事象。

n個すべてが表、裏である確率は

したがって、事象Bの確率は

事象A∩Bはn個のうちの１個が表である事象だから、その確率は

（２）　事象Aと事象Bが独立である必要十分条件は

したがって、

よって、n=3のとき、AとBは独立。

nが３以外のとき、AとBは従属。

（解答終了）