漸化式で表された数列の極限 連立漸化式

漸化式で表された数列の極限　連立漸化式

問題１　数列はx₁=1、y₁=5をもとにして

にしたがって作られている。このとき、およびを求めよ。

【解】

①から

よって、

③、④を②に代入すると、

ここで,t²−4t+3=0として、この２次方程式を解くと、

したがって、⑤は次のように変形できる。

⑥よりは初項x₂−x₁、公比3の等比数列。

したがって、

⑦より、数列は一定だから――初項x₂−3x₁、公比1の数列と考えてもよい――

x₁=1、y₁=5だから、①より

よって、⑧、⑨から

⑩−⑪

③より

【解答終了】

上のように隣接３項の漸化式に変形して解くことができるけれど、実はうまい方法がある。

【別解】

①+②

①−②

③より、数列は、初項x₁+y₁、公比3の等比数列だから

④より

⑤＋⑥

⑤−⑥

【別解終了】

どちらが楽かは言うまでもないだろう。

この他に、

として行列を利用して解く方法もありますが・・・。

問題２

に対して次の問いに答えよ。

（１）　をnの式であらわせ。

（２）　を求めよ。

【解】

（１）

①＋②

①−②

③より

④より数列は初項x₁−y₁=1、公比1/3の等比数列。

⑤＋⑥

⑤−⑥

（２）

（解答終了）

問題３　が次の条件を満たすとき、を求めよ。

【解】

より、

よって、

①より、

②より

④−③

で、

よって、

（解答終了）

【別解】

①−②

①−２×②

③、④より

よって、

（解答終了）