確率の初歩２ 順列

確率の初歩２　順列

順列　異なるn個の中からr個（r≦n）とった順列は

特に

である。

ここで、

であり、

と定義する。

例

５人を一列に並べる並べ方（順列）は

５人から３人をとった順列は

問１　次の等式を証明せよ。

【解】

（解答終了）

問２　男子１０人、女子５人の生徒の中から会長、副会長、書記を選ぶとする。次の問いに答えよ。

（１）　全部で何通りの選び方があるか。

（２）　その中に少なくとも１人の男子を選びたい。このような選び方は何通りあるか。

【解】

（１）　男子１０人、女子５人、あわせて１５人の中から会長、副会長、書記の３人を選ぶのだから

よって、２７３０通り。

（２）　男子が１人も含まれない、つまり、すべて女子の場合の数は、女子５人から３人を選ぶので

すべての場合の数から、男子が１人も選ばれない場合の数を引いたものと等しいので、

よって、2660通り。

（解答終了）

問３　0,1,2,3,4,5の６つの数字からなる異なる４つの数字を選び出し、４桁の数字を作るとき、次のものは何通りあるか。

（１）　全部

（２）　偶数

【解】

（１）　４桁の数字をabcdとすると、aに選べる数字は１〜5の5通り。

bcdに関しては、aに選んだ残りの5つの数字から３つ選べばよい。

よって、

したがって、３００通り

（２）　abcdが偶数になるのは、dが0,2,4のとき。

d=0のとき、残りの５つから３つ選んで並べれば良いので

d=2のとき、aになれるのは1,3,4,5の４つの数字。

したがって、

d=4のときの場合の数は、d=2のときと同じなので、４８。

したがって、60+48+48=156の１５６通り。

（解答終了）

問４　男子４人、女子３人を並べるとする。

（１）　全部で何通りの並べ方があるか。

（２）　女子３人は必ず隣り合うものとすると、全部で何通りの並べ方があるか。

（３）　女子はどの２人とも隣り合うように並べると何通りの並べ方があるか。

【解】

（１）　７！=7×6×5×4×3×2×1=5040通り

（２）　隣り合う３人の女子を１人と考え、５人を並べる並べ方は

１人と考えた女子３人の並び方は

よって、

したがって、７２０通り

（３）　これは次のように考えるといいにゃ。

△男△男△男△男△

女子は△の５つのところに３人並べればよいので、その並べ方は

男４人の並べ方は

したがって、

よって、１４４通り。

（解答終了）

問５　異なる３個の箱を異なる４個の箱に分配するとき、

（１）　どの箱にも何個のボールを入れてもよい場合、全部で何通りの分配する方法があるか。

（２）　どの箱にも２個以上のボールを入れない場合、全部で何通りの分配する方法があるか。

【解】

（１）　4³=64通り

（２）　通り

（解答終了）

（１）については、３個のボールをA,B,Cとすると、ボールA,B,Cともにそれぞれ４通りの分配の仕方があるので、

通りになる。

これを箱から考えると、

または、

といった計算になる。

左辺第１項は１個ずつ分配する仕方、第２項は２個と１個、第３項はボール３個を分配する仕方である。

だから、をとしてもよい。
ボール２個を先に箱に入れて、残った３個の箱に２個の玉を一緒に入れるか、２個の玉を先に入れて、残った３個の箱に１個入れるかという考え方の違いに過ぎないので、式の形にこだわる必要はない。

（１）のように重複を許す順列を重複順列という。

この他に、n個の異なる珠を数珠つなぎn個並べる円順列などがありますが、円順列の場合の数は通りです。