第１２回 漸化式で表された数列の極限３ 隣接する２項の場合２

第１２回　漸化式で表された数列の極限３　隣接する２項の場合２

問題１　を満たす数列がある。

（１）　とおくとき、ととの関係式を求めよ。

（２）　0<x₁<1のとき、を求めよ。

【解】

（１）

だから、

これを①に代入すると、

（２）　0<x₁<1より、0<y₁<1、また。

②の両辺の対数をとると、

したがって、数列は初項logy₁、公比2の等比数列。

よって、

（解答終了）

（※）　とおくと、

で、0<y₁<1だから

問題２　aは1<a<2を満たす定数とする。

によって定められた数列について、次の問いに答えよ。

（１）　を証明せよ。

（２）　を証明せよ。

（３）　を求めよ。

【解】

（１）　n=1のとき

1<a<2だから、

また、

よって、

n=kのとき

と仮定する。

n=k+1のとき

だから、

また、

よって、数学的帰納法により、

である。

（２）　

よって、

（３）

ここで、

よって、

したがって、

（解答終了）

問題３　次の数列について、下の問（１），（２）に答えよ。

（１）　この数列の項はすべて正で、単調に減少する。これを数学的帰納法をもちいて証明せよ。

（２）　この数列が収束することはわかっていて、その極限値を求めよ。

【解】

（１）　n=1のとき

n=kのとき、

n=k+1のとき

また、

（２）

また、

よって、極限値α=1