第３回 確率変数と確率分布

第３回　確率変数と確率分布

§１　確率変数と確率分布

１〜６の目をもつサイコロを振り、出た目をXとすると、Xの目が出る確率は、次のようになる。

たとえば、X=1と、Xの値が決まれば、その確率

と定められる。

より一般的に書くと、次のようになる。

Xの値			・・・
確率			・・・

の値をとる変数Xに対して、の確率が与えられているとき、Xを確率変数という。また、確率変数Xとそれに対応する確率との対応関係を確率分布という。

確率変数のとる値がであるとし、それに対応する確率をとするとき、

である。

問１　１枚の硬貨を２回投げるとき、表の出る回数を確率変数Xとして、Xの確率分布を求めよ。

【解】

（１回目の結果、２回目の結果）と書くことにすると、全事象は、（裏,裏）、（裏,表）、（表,裏）、（表,表）の４通り。

表が０回出るのは、（裏,裏）の１通り。

したがって、表が０回出る確率は

表が１回出るのは、（裏,表）、（表,裏）の２通り。

したがって、表が１回出る確率は

表が２回出るのは（表,表）の１通り。

したがって、表が２回出る確率は

よって、確率分布は次の通り。

X	0	1	2
確率P	1/4	1/2	1/4

（解答終了）

問２　１０本のくじがあって、そのうち、２本が当たりくじとする。３本引いてあたった回数をXとするとき、X本当たる確率を求めよ。

【解】

したがって、

X	0	1	2	3	計
	7/15	7/15	1/15	0	1

（解答終了）

§２　期待値（平均値）と分散、標準偏差

確率変数Xがの値をとり、それに対応する確率がであるとき、

をE(x)や、mなどであらわし、確率変数の平均値、期待値という。

また、

をやV(x)、σ²で表し、確率変数の分散という。

また、分散の正の平方根

を標準偏差という。

問３　白球４個と赤球３個が入っている袋から２個の珠を同時に取り出すとき、その中に含まれる白球の個数の確率分布を求めよ。また、期待値を求めよ。

【解】

取りざされる白球の個数をk（=0,1,2）に対応する確率をとする。

白球の個数	0	1	2	計
確率	1/7	4/7	2/7	1

したがって、平均値mは

（解答終了）

ちなみに、分散Vと標準偏差σは

問題　１と書いたカードが１枚、２と書いたカードが２枚、・・・・・・、nと書いたカードがn枚ある。この中から１枚取り出すとき、カードの示す数Xを確率変数とする。

（１）　X=kである確率を求めよ。

（２）　Xの平均値を求めよ。

【解】

（１）　カードの数は全部で

したがって、は

（２）　Xの平均値mは

（解答終了）