確率の初歩４ 確率の定義

確率の初歩４　確率の定義

§１　確率の定義と用語の定義

標本空間　ある試行で起こりうる結果の全体集合

Sを標本空間、e₁、e₂、・・・を標本空間の要素とすると

と表される。

事象　標本空間Uの部分集合。

A、BをSの部分集合とするとき、A∪Bを和事象、A∩Bを積事象、をAの余事象という。

A∩B=∅のとき、AとBは排反である、または、排反事象であるという。

確率の定義

事象Aの要素の個数をn(A)、標本空間Sの要素の個数をNとするとき、事象Aの起こる確率P(A)は

例１　さいころを１回振る試行を考える。このとき、標本空間Sは

で、偶数の目、すなわち、２，４，６が出る事象をAとすると、

になる。

偶数の目が出る確率、つまり、事象Aの確率は、

§２　確率の基本的性質

（１）　任意の事象Aについて

（２）　標本空間Sの起こる確率は

（３）　空事象∅の起こる確率は

（４）　事象Aと事象Bが排反、つまり、A∩B=∅であるとき、AとBの和事象A∪Bの起きる確率は

である。

A∩B≠∅のときは

（５）　事象Aの余事象の起きる確率は

例２　さいころを１回振るとする。偶数の目が出る事象をA、奇数の目が出る事象をB、2以下の目が出る事象をCとすると、

AとBの和事象A∪Bは

したがって、

また、A∩B=∅だから

①と②の結果は一致する。

また、AとCの和集合A∪Cは

したがって、

また、

だから、

となり、③と④は一致する。

A∩B=∅だから

つまり、さいころの目が偶数かつ奇数である事象の起きる確率は0ということになる。

さらに、

だから、BはAの余事象である。

よって、

と計算することもできる。

問１　１組５２枚のトランプから４枚抜くとき、次の確率を求めよ。

（１）　２枚はクラブ、２枚はハートが出る確率

（２）　４枚とも同種類のカードが出る確率

（３）　４枚とも異なる種類のカードが出る確率

【解】

（１）

（２）

（３）

（解答終了）

問２　１から５０までの番号をつけた５０枚の札から１枚取り出したとき、その番号が２または３の倍数である確率を求めよ。

【解】

５０以下の生成数の、２の倍数の集合をA、３の倍数の集合をBとすると、n(A)=25、n(B)=16。

また、「２の倍数」かつ「３の倍数」の集合は、６の倍数の集合なので、n(A∩B)=8。

よって、

（解答終了）