第１５回 数列と確率

第１５回　数列と確率

確率と数列の極限の問題を幾つか紹介し、それを解くことにする。

問題１　１つのさいころを振って１が出れば甲の価値、６が出れば乙の勝ちとして、さいころを振ることを止め、１と６以外の他の目が出たら、繰り返して降るものとする。

（１）　さいころを振る回数をn回までとしたとき、甲の勝つ確率を求めよ。

（２）　回数を制限しないとき、甲の勝つ確率を求めよ。

【解】

（１）

したがって、甲が１〜n回で勝つ確率は

（２）

よって、甲が勝つ確率は1/2である。

（解答終了）

甲がk回目で勝つ場合は、k−1回連続で2〜5の目が出て、k回目に1が出る場合。

２〜５の目が出る確率は

したがって、k−1回連続で2〜５の目が出る確率は

k回目に1が出る確率は1/6だから、甲がk回目で勝つ確率は

である。

問題２　ある人が射的をする。一度命中した次に引き続き命中する確率は0.8であり、外れた次に引き続き外れる確率は0.4であるという。第n回目が命中であったときの確率をとするとき、次の問いに答えよ。

（１）　をを用いて表せ。

（２）　を求めよ。

【解】

（１）　命中した次に命中する確率は0.8

外した後に命中する確率は1−0.4=0.6

n−1回目が命中の確率

n−1回目がはずれである確率

したがって、n回目が命中である確率は

ここで、

を解くと

①の両辺から3/4を引くと

したがって、数列は初項、公比の等比数列。

よって

（２）

（解答終了）

問題３　A、B２人が、A、Bの順で交互にさいころを振り、最初に１の目が出た人を勝ちとする。A、Bの勝つ勝率を求めよ。

【解】
p=1/6とすると、Aが勝つパターンは下の表のようになる。

A	B	A	B	A	B	A	B	A	勝率
◯
×	×	◯
×	×	×	×	◯
×	×	×	×	×	×	◯
×	×	×	×	×	×	×	×	◯

よって、Aが勝つ確率P

これは初項p、公比(1−p)²の等比級数の無限和だから

p=1/6だから

Aの勝率は6/11。

したがって、Bの勝率は

（解答終了）

つまり、このゲームは先攻の方が有利ということになるのであった。