第５回 独立試行と二項分布

第５回　独立試行と二項分布

§１　独立試行の確率

１回の試行で事象Aの起こる確率をpとすると、この試行をn回繰り返した場合、事象Aがr回起こる確率は

である。

問１　袋の中に赤球１個、白球４個が入っている。この中から１個取り出して、もとに戻すことを３回繰り返す。この場合、赤の出る回数をXとして、Xの確率分布を求めよ。

【解】

取り出した球を戻すので、赤球の出る確率p=1/5、白球の出る確率q=4/5。

この問題の場合n=3。

Xの取りうる値は0、1、2、3。

X=rの時の確率をP(X=r)と書くことにすると、

したがって、確率分布は次のようになる。

X	0	1	2	3	計
確率	64/125	48/125	12/125	1/125	1

（解答終了）

この問題には出ていないけれど、赤球の出る回数rの期待値mは

である。

§２　２項分布

変量Xが0、1、・・・・・・、nの値をとり、それらの値をとる確率が

で与えられる確率分布を２項分布という。

その平均・期待値m、標準偏差σは

である。

（２）、（３）を使えば、問１の平均値、標準偏差は

と、複雑な計算をすることなく、すぐに求めることができる。

【（２）の証明】

２項定理より

xで微分すると、

x=1を代入すると、

p+q=1だから

（証明終わり）

【（３）の証明】

また、

よって、

ここで、①の両辺をxで微分すると、

x=1を上式に代入すると、

これを②に代入すると、

（証明終わり）

問２　１０％の不合格品を含む同じ製品の一山がある。この中から任意に４個を取り出すとき、その中に含まれる不良品の数Xで確率分布の表で示し、Xの平均値、標準偏差を求めよ。

【解】

X=rである確率は

したがって、確率分布表は

X	0	1	2	3	4	計
確率	0.6561	0.2916	0.0486	0.0036	0.0001	1

したがって、平均値=0.4、標準偏差=0.6

（解答終了）

問題　１回の試行で事象Aの起こる確率がpであるとき、n回の試行の内、事象Aが最も起こりやすい回数を求めよ。

【解】

r=kのとき、確率が最大になるとすると、

したがって、

そこで、①より

②に対しては、③のkをk+1と置き換えて、不等号の向きを入れ替えると、

③と④より、

を満たす整数kのとき、事象Aは最も起こりやすい。

（解答終了）

問３　１個のさいころを４０回投げるとき、１つの目が何回出る確率が最も高いか。

【解】

n=40、p=1/6。

（４）より

よって、６回のとき確率は最大になる。

（解答終了）