確率の初歩 場合の数

確率の初歩　場合の数

高校程度の統計をやる前に、これから数回にわたって、その前提知識として必要になる、場合の数と確率について少しだけ述べることにする。

§１　和の法則

和の法則

２つの事柄A、Bがあって、同時に起こらないとする。

Aの起こり方がm通り、Bの起こり方がn通りであるとすれば、AまたはBの起こる場合の数、m+n通りである。

同時に起こらないということは、右図（ベン図）で示される集合Aと集合Bが交わりA∩Bをもたない、つまり、A∩Bが空集合∅

であるということ。

右図に示されるように、AとBの交わりが空集合でないとき、集合A、Bの集合の元（要素）の個数をn(A)、n(B)などとあらわすことにすると、集合Aと集合Bの和集合A∪Bの元の個数n(A∪B)は

 

になる。

例　とすると、

n(A)+n(B)だと、A∩B={6}の6を１個ダブルカウントすることになるから、ダブルカウントしている個数を引く！！
（１）式は、A、Bが無限集合の場合、必ずしも成り立たないので注意が必要。

問１　１から１０００までの正の整数のうち、５または７の倍数の個数はいくつあるか。

【解】

１から１０００までの正の数のうち、５の倍数である集合をA、７の倍数である集合をBとする。

そうすると、A∩Bは、１から１０００までの整数のうち、「５の倍数であり、かつ、７の倍数」、つまり、「３５の倍数」の集合。

n(A)=200、n(B)=142、n(A∩B)=28だから、

よって、314個

（解答終了）

問２　１００人の生徒の中で、音楽の愛好者は５３人、スポーツの愛好者が７２人いる。音楽とスポーツの両方を愛好する生徒数をn人とすると、nの取りうる最小値と最大値を求めよ。

【解】

音楽の愛好者の集合をA、スポーツの愛好者の集合をBとすると、n(A)=53、n(B)=72、n(A∩B)=n。

で、A∩B⊆Aだから、

また、条件から

①と②より、

したがって、nの最小値は25、最大値は53。

（解答終了）

問３　２桁の正の整数のうち、一位の数字が十位の数字よりも小さいものはいくつかるか。

【解】

十位の数字が１のとき、一位の数字は0で１個。

十位の数字が２のときは、一位の数字は0と1の２個。

十位の数字がn（=1〜9）のとき、１位の数字は0,1,・・・,n−1のn個。

したがって、

４５個である。

（解答終了）

§２　積の法則

積の法則

２つのことがらA、Bがあって、Aの起こり方がm通り、Aのおのおのの起こり方に対して、Bの起こり方がnとおりであれば、Aに引き続いてBの起こる場合の数はm・n通りである。

問１　N=9800の正の約数は、１とNを含めていくつあるか。

【解】

N=9800を素因数分解すると、

2³・5²・7²の正の約数は

とかけるので、正の約数の個数は

よって、３６個

（解答終了）

問２　0,1,2,3,4,5の６個の数字がある。個の中から３個の活字を並べてできる３桁の整数のうち４３２以下の整数はいくつできるか。

【解】

百位が４のとき、十位が３ならば、一位は0,1,2の３通り。

百位が４のとき、十位が0,1,2ならば、一位はそれぞれにつき4通りあるので、3×4=１２通り。

百位が１〜３のとき、十位は５通り、一位は４通り。したがって、３×５×４＝６０通り。

よって、３＋１２＋６０＝７５通り。

（解答終了）