第１回 テンソルとは

第１回　テンソルとは

空間内の任意のベクトルxに対して値が定まり、その値がベクトルである関数T(x)があるとする。

関数Tが、任意のベクトルx、y、任意の実数aに対して、つぎの線形条件

を満たすとき、Tを（２階の）テンソルという。

なお、上の線形条件（１）と次の条件（２）とは同値である。

任意の実数a、b、任意のベクトルx、yに関して

である。

今後、空間に設置した座標系O-xyzのx軸、y軸、z軸をそれぞれx₁軸、x₂軸、x₃軸とあらわすことにし、その基本ベクトルをとする。

ベクトルの成分を

とすると、

である。

このとき、

をテンソルTの座標系O-x₁x₂x₃に関する成分といい、をTの(i,j)成分という。

は、

と表せるので、とすると、

ゆえに、とすれば、

すなわち、

である。

行列を用いてかけば、

である。

テンソルTの成分をとすると、（４）式より

である。

問１　任意のベクトルxに対してであるテンソルの成分は単位行列

である。これを単位テンソルといい、記号Iなどであらわす。

【解】

（４）とより

したがって、テンソルの成分は

（解答終）

【別解】

より、

したがって、（９）より

よって、

（解答終）

問２　任意のベクトルxに対してであるテンソルの成分は零行列

である。これを零テンソルといい、記号０であらわす。

【略解】

より。

よって、

（略解終）

問３　ベクトルが与えられたとき、任意のベクトルxに対してA×xを対応させる、すなわち、

となるテンソルTの成分を求めよ。

【解】

とすると、

したがって、

よって、テンソルの成分は

である。

（解答終）