第７回 テンソルとベクトルの１次関数

第７回　テンソルとベクトルの１次関数

ベクトルの成分がベクトルの１次関数

によって表されるとき、ベクトルはベクトルの１次ベクトル関数という。

すなわち、

問題１　をテンソル、をベクトルとすれば、

はベクトルである。

【解】

とおく。

直角座標の変換によって、がになるとする。

に、

を代入すると、

ゆえに、はベクトルである。

（解答終）

問題２　９個の数の組とするとき、任意のベクトルに対し、つねに

がベクトルならば、はテンソルである。

【解】

とおく。

直角座標の変換によって、がになるとすれば、

ところで、

また、の両辺にを掛け、j=1〜3について加えれば、

よって、（３）は

（２）と（４）より

上式は任意のベクトルについて成立するので、

よって、はテンソルである。

（解答終）

したがって、

任意のベクトルについて

がベクトルであるとき、９個の数の組はテンソルである、とテンソルを定義することができる。

問題３　をテンソル、をベクトルとすれば、

はスカラーである。

【解】

とおくと、はベクトル。

よって、

したがって、はスカラーである。

（解答終）

がベクトルであるとき、 がスカラーであることは、第５回の問題１で示してある。