第１４回 高次のテンソル

第１４回　高次のテンソル

これまで取り扱っていたテンソルは２次（２階）のテンソルであるが、ベクトルから２次のテンソルを得たようにより高次のテンソルを定義することができる。

たとえば、３つのベクトルをとし、

とおけば、直角座標の変換によって、

すなわち、

となる。

を２７個の数の組とする。

直角座標の変換

によってが

に変換されるとき、この２７個の数の組をテンソルといい、の各々をその成分という。

同様に、４次、５次のテンソルを定義することができる。

を３次のテンソルとするとき、

よって、

とおくと、

となるので、

は３次のテンソルである。これをテンソルとの和という。

同様に、

をテンソルとの差という。

また、αをスカラー、をテンソルとすれば、

はテンソルである。

そして、を３次のテンソル、を２次のテンソルとすれば、

は５次のテンソルである。これをテンソルとの積という。

テンソルの同じ指標について、１から３まで加えることを縮約という。

縮約の例

一般に、１つの文字について縮約すると、テンソルの次数は２次下がる。

問　をベクトル、を２次のテンソルとするとき、

は何次のテンソルか。

【解】

とすると、

したがって、これはスカラー（直交座標の変換によって値が変わらないもの）だから、０次のテンソルである。

このように解くのが正式な解き方だけれど、こんなことをしていたら死んでしまうので、１つの文字について縮約すると、テンソルの次数は２次下がるを利用すことにする(^^ゞ

はベクトルなのだから、は２次のテンソル。そして、

は、j=iとしてを縮約したものだから、このテンソルの次数は2−2=0次になる。

は３次のテンソル。そして、

は、k=jとして３次のテンソルを縮約したものだから、このテンソルの次数は3−2=1次。

は４次のテンソル。

は、k=i、l=jとして４次のテンソルを縮約したものだから、このテンソルの次数は4−2−2=0次。

は２次のテンソル。

は、j=iとして２次のテンソルを縮約したものだから、2−2=0次のテンソル。

最後くらい、真面目にやろうか。

つまり、これは直交座標の変換によって変わらないのでスカラー、つまり、０次のテンソルである。

（解答終）

k=1のとき、

だから、

同様に、

したがって、

である。