第１２回 テンソルを行列で表すと２

第１２回　テンソルを行列で表すと２

O-x₁x₂x₃からO-x'₁x'₂x'₃への成分の変換式が

であるとする。

行列で表現すると、

である。

テンソルTの直交座標系O-x₁x₂x₃とO-x'₁x'₂x'₃に関する成分を

とし、この変換式を考えることにする。

任意のベクトルxに対して

とする。

xの直交座標系O-x₁x₂x₃とO-x'₁x'₂x'₃に関する成分を

yの直交座標系O-x₁x₂x₃とO-x'₁x'₂x'₃に関する成分を

とすれば、このとき、

となる。

また、

だから、

この両辺にAの逆行列A⁻¹をかけると、

よって、

これが任意のベクトルxについて成り立つので、

よって、

したがって、

これが座標変換にともなうテンソルの成分の変換式である。

また、Aは直交行列だから、

が成立すので、次のように変換式を書き換えることができる。

これを行列のそれぞれの成分について書くと、

である。

また、

だから、

となり、「第６回　テンソルの新たな定義」で提示したテンソルの変換式が得られる。

また、この両辺にをかけて、iとjについて和をとると、

したがって、

ここで、

という関係を使うと、

と変換式（５）を得ることができる。