材料力学のお話

材料力学のお話

Δx₁、Δx₂の微小要素を考える。

このとき、直交座標系O-x₁x₂に関する応力テンソルTの成分は

となる。

直交座標系O-x₁x₂を原点Oを中心に反時計回りにθ回転させた直交座標をO-x'₁x'₂をとすると、x'₁軸、x'₂軸の方向余弦は

だから、

とおくと、座標系の変換によって応力テンソルの変換式は

となる。

したがって、

になる。

問１　直交座標系O-x₁x₂に関する応力テンソルが

であるとする。

原点を中心に座標軸を反時計回りにθ回転させたたとき、応力テンソルの成分はどのようになるか。

【解】

（解答終）

問２　直交座標系O-x₁x₂に関する応力テンソルが

であるとする。

原点を中心に座標軸を反時計回りに４５°回転させたたとき、応力テンソルの成分はどのようになるか。

【解】

（解答終）

問２のように、単純せん断応力の場合、軸を４５°回転すると、応力テンソルからせん断応力を消すことができる。

のとき、応力テンソルの成分は

したがって、となるように、

θをとれば、は応力テンソルの主応力（主値）になる。

また、主応力は、次のように、行列（テンソル）の固有方程式を解くことによて求めることができる。

よって、主応力をσ₁、σ₂とすると、

となる。

せん断応力の絶対値が最大になるとき、そのを最大せん断応力（主せん断応力）といい、主応力σ₁、σ₂を用いると、

で与えられる。

問３　σ₁₁=2+√2、σ₂₂=2−√2、σ₁₂=√2のとき、主応力とその方向を求めよ。また、最大せん断応力を求めよ。

【解】

（６）より、

また、主応力は（７）より

よって、（８）より最大せん断応力は

である。

（解答終）

O-x₁x₂に対し角度θだけ傾いている（仮想的な）断面に作用する垂直応力σ'とせん断応力τ'は、この断面の垂直なベクトル、すなわち、法線ベクトル（直交座標系O-x'₁x'₂での成分であることに注意！！）

に、（３）〜（５）で与えられる成分をもつ応力テンソルを作用させることにより、次のように求めることができる。

このθを消去すると、

これをモールの応力円という。

問３の場合、モールの応力円は

となり、これを用いて、主応力、最大せん断応力を求めることもできる。