第１０回 テンソルの２次曲面

第１０回　テンソルの２次曲面

テンソルの成分を係数とする次の二次形式を考える。

ここで、

とおくと、

したがって、

であるが、

よって、

となる。

は対称テンソルだから、２次形式の係数を対称テンソルの成分と考えることができる。

を対称テンソルとするとき、２次方程式

は

となり、この方程式があらわす２次曲面をテンソル２次曲面という。

はテンソルであるから、上式の左辺の値は直角座標軸の変換によって変わらない。座標におけるテンソルの成分をとすると、

したがって、におけるテンソル２次曲面の方程式は

である。

テンソルの主方向に軸をとり、その主値をT¹、T²、T³とすれば、は

となる。したがって、テンソル２次曲面の方程式は

となる。

このときの座標軸をテンソル２次曲面の主軸という。

T¹、T²、T³のいずれも正のとき、

とおき、さらにをと置き換えると、（２）式は次のようになる。

したがって、このとき、テンソル２次曲面は楕円面になる。また、a、b、cの内のいずれか２つが等しいとき、回転楕円面になる。

特に、a=b=c、すなわち、T¹=T²=T³のとき、球面になる。

また、T¹>0、T²>0、T³<0のとき、

とおくと、

となり、一葉双曲面になる。

T¹>0、T²<0、T³<0のとき、

とおくと、

となり、二葉双曲面になる。

問　次の２次曲面はどのような曲面か。

【解】

（１）　この２次方程式をあらわす対称テンソルの成分は

したがって、固有方程式は

よって、主値をT¹=3、T²=T³=−2とおき、この主値に対する主方向に座標軸をx'、y',z'をとれば、方程式2x²−2y²−z²+4zx=1は

となる。

したがって、これは二葉双曲面である。

（２）　対称テンソルの成分は

したがって、固有方程式は

となる。

この３次方程式の解は2、3、6。

そこで、主値をT¹=2、T²=3、T³=6とし、この主方向にx'、y'、z'軸をとると、

よって、この曲面は回転楕円面である。

（解答終）

前回の第９回でテンソルの成分が

である対称テンソルの主値と主方向を求めた。

その結果を用いると

（１）のとき、

とすると、テンソルの主値はT¹=1、T²=2、T³=4となるので、この主値に対応する主方向に座標軸x'、y'、z'をとると、上の２次曲面は、

となり、この２次曲面が楕円面であることが分かる。

同様に、（２）のとき、

とすると、テンソルの主値はT¹=4、T²=T³=1だから、この主値に対応する主方向に座標軸x'、y'、z'をとると、上の２次曲面は、

となり、これが回転楕円面であることが分かる。