第３回 ベクトルのテンソル積

第３回　ベクトルのテンソル積

２つのベクトルA、Bが与えられているとする。任意のベクトルxに対して

とおけば、Sは線形条件を満たすのでテンソルである。

何故ならば、a、bをスカラー（実数）、x、yを任意のベクトルとし、

であるから。

このテンソルSをベクトルAとBのテンソル積といい、記号S=A⊗Bであらわす。すなわち、

となるA⊗Bの成分をとすれば、

となる。ここで、

である。

したがって、S=A⊗Bの成分は次式で与えられる。

すなわち、

である。

特に、基本ベクトルの９個のテンソル積は

になる。

また、任意のベクトルに対して

が成り立つ。

任意のテンソルTの成分をとし、テンソルSを

で定義する。このとき、任意のベクトルに対して、

よって、

になる。

ゆえに、任意のベクトルxに対してが成り立ち、T=Sである。

したがって、任意のテンソルTについて

が成り立つ。

問１　について、テンソルu⊗vの成分を求めよ。

【解】

（解答終）

問２　単位テンソルIは次のように表せることを示せ。

【解】

したがって、

（解答終）