第１５回 ベクトル場の微分

第１５回　ベクトル場の微分

ベクトル場をとし、x¹、x²、x³で偏微分して得られる９個の関数は

はテンソルの成分である。これをベクトル場の偏微分係数という。

【２次のテンソルであることの証明】

直角座標の変換

によって

になるとする。

（２）の両辺をで偏微分すると、

ここで、

だから、

したがって、はテンソルである。

（証明終）

をスカラー関数とすれば、はベクトルである。したがって、は２次のテンソルである（※）。

また、φが２回連続微分、すなわち、C²級であるとき、

が成立するので、は対称テンソルである。

例　ベクトルの発散

は、2次のテンソルを縮約したものだから、2−2=0次のテンソル、すなわち、スカラーである。

また、テンソルの対称成分は、

の反対称成分は

だから、はベクトルの成分。

よって、

とおき、ベクトルをv、wで表せば、

である。

（※）

だから、

となり、はベクトル（１次のテンソル）。

ここで、

とおけば、

が２次のテンソルであることが示される。

問　をスカラー関数とするとき、

がスカラーであることを示せ。

【解】

は２次のテンソル。

（４）は、i=jとして、これを縮約したものだから、2−2=0次のテンソル、すなわち、スカラーである。

（解答終）