第１５回 ベータ関数、ガンマ関数の問題２

第１５回　ベータ関数、ガンマ関数の問題２

問題１

から次のことを導け。

（１）　

（２）　

ただし、

（３）

【解】

（１）　p=1/2、q=1/2として代入すると

また、

ここで、x=sin²tとおき置換積分すると

したがって、

（２）

（３）　ベータ関数の三角関数表示は

nが偶数のとき、n=2m（m=1,2,・・・）とおくと

n=3,5,・・・のとき、n=2m+1（m=1,2,・・・）とおくと

（解答終了）

問題２　次の問いに答えよ。

（１）　次の等式が成り立つことを示せ。

（２）　t=4x(1−x)と変換することによって、次を導け。

（３）　次の等式が成立することを示せ。

【解】

（１）

x=1−tとおき、右辺第２項を置換積分すると、

よって、

（２）　t=4x(1−x)とおくと、x=0のときt=0、x=1/2のときt=1。

x²−x+t/4=0を解くと

x=0のときt=0、x=1/2のときt=1 という条件を満たすのは

だから、

よって、

したがって、

（３）

（解答終了）