第３回 三角形の角と辺の大小

第３回　三角形の角と辺の大小

§１　三角形の辺と角の大小

定理８

三角形において

（１）　大きい辺に対する角は小さな辺に対する角よりも大きい。

（２）　大きい角に対する辺は小さな角に対する辺よりも大きい。

【証明】

（１）AB>ACとする。

AB>ACなので、AB上にAD=ACである点Dを取ることができる。

AB=ACなので、△ADCは二等辺三角形。

よって、
∠ADC=∠ACD

したがって、

よって、AB>ACならば、∠C>∠Bである。

（証明終）

（２）　∠C>∠Bとすると、AB上に∠ECA=∠Bとなる点Eを取ることができる。

さらに、∠BCEの二等分線とABの交点をFとする。

このとき、

∠AFC=∠FCA　（※）

で、△AFCは二等辺三角形。

よって、

AB>AF=AC

（証明終）

（※）外角定理より、∠AFC=∠B+∠BCF

∠FCA=∠EFC+∠FCE=∠B+∠BCF

∴ ∠AFC=∠FCA

（２）で背理法を使うならば・・・。

∠C>∠BのときAC≧ABであるとする。

AC=ABのとき、二等辺三角形なので∠C=∠Bとなり矛盾。

AC>ABのとき、（１）より∠B>∠Cとなり矛盾。

よって、∠C>∠BならばAB>ACである。

問題１　△ABCの∠Aの２等分線がBCと交わる点をDとすると、

AB>BD、AC>CD

であることを証明せよ。

【証明】

三角形の外角定理より

∠BDA=∠C+∠CACD=∠C+∠DAB>∠DAB

△ABDに注目すると、∠DABの対辺はBDで、∠BDAの対辺はABだから、定理８より

AB>BD

である。

また、

∠ADC=∠B+∠DAB=∠B+∠CAB>∠CAB

△ADCに注目すると、同様に

AC>DC

である。

（証明終）

問題２　

△ABCにおいて、AB>ACのとき、∠B、∠Cの２等分線の交点をPとするとき、PB>PCであることを証明せよ。

【証明】

AB>ACより∠C>∠B

よって、

（証明終）

§２　２つの三角形の辺と角の大小

定理９　２つの△ABC、△A'B'C'において、AB=A'B'、AC=A'C'とする。　

（１）　∠A>∠A'ならばBC>B'C'

（２）　BC>B'Cならば∠A>∠A'

【証明】

（１）　図のように、A’B'をABに一致するように△A'B'C'を△ABCに重ねる。

∠CADの二等分線と辺BCの交点をEとする。

△ADE≡△A'CE

よって、

DE=EC

三角形の２辺の和は他の１辺より大きいので、

BD<BE+ED=BE+EC=BC

よって、

BC>BC'

である。

（２）

（１）より、

∠A>∠A'ならばBC>B'C'

∠A=∠A'ならばBC=B'C'

∠A<∠A'ならばBC<B'C'

よって、転換法より

BC>B'Cならば∠A>∠A'

（証明終）

問題４　△ABCの辺AB、AC上にそれぞれ点D、EをBD=CEとなるようにとると、

AB>ACならばBE>CD

であることを証明せよ。

【解】

△ABCに注目。

AB>ACならば、定理Aの（２）より

∠B<∠C

で、△BCDと△BCEの２つの三角形に注目する。

BCは共通、そして、BD＝CE。そして、∠B<∠Cだから、定理Bの（１）より

BE>CD

である。

よって、

AB>ACならばBE>CD

（解答終）

§３　三角形の二辺の和と差

定理１０

三角形において

（１）　２辺の和は第３辺よりも大きい。

（２）　２辺の差は第３辺よりも小さい。

【証明】
（１）　BAの延長上にAC=ADとなる点Dをとる。

BA+AD=AB+AC=BD　　①

三角形ACDはAC=AD、 二等辺三角形だから

　　∠BDC＝∠ACD

よって、

　　∠D =∠ACD<∠BCA+∠ACD∠BCD

第１９回の定理Aより

　　BD>BC　　②

①と②より

AB+AC>BC

よって、 三角形の２辺の長さの和は、残りの他の１辺の長さよりも大きい

（証明終わり）

（２）

②より、b−c<a、③よりc−b<a。

よって、

同様に、

（証明終わり）


問題２　
△ABC内の任意の１点をPとすれば

AB+AC>PB+PC

であることを証明せよ。

【証明】

BPの延長とACの交点をDとする。

△ABDに注目すると

△PCDに注目すると

①と②の辺々を足すと

（証明）