平均値の定理の問題の続き
問題 fはC²級の関数とする。
f’’(x)≠0ならば
とするとき
であることを証明せよ。
この問題を解く前に、
拡張された平均値の定理
f(x)が閉区間[a,b]でC¹級で、開区間(a,b)で２回微分可能であるとき
となるcが少なくともひとつ存在する
【証明】
となるようにkを定める。
とおく。
F(x)は、F(a)=F(b)=f(b)で、[a,b]で連続、(a,b)で微分可能だから、ロールの定理より
となるcが存在する。
だから、
したがって、
となるcが少なくともひとつ存在する。
（証明終）
ちなみに、
b−a=hとおき、
とおくと、0<θ<1となるので、（２）式は
これで問題を解く準備が整った。
問題 fはC²級の関数とする。
f’’(x)≠0ならば
とするとき
であることを証明せよ。
【証明】
f'(x)に平均値の定理を用いると
ここで、k=θhとおくと
これを平均値の定理
に代入すると、
また、
f’’(x)≠0でf'は連続だから、hを十分小さくとれば、
'①と②より
f(x)はC²級、つまり、f’’(x)は連続だから
（証明終）
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