錯角、同位角の等しい２直線は平行であることの証明

錯角、同位角の等しい２直線は平行であることの証明

中学校で習った

定理

異なる２直線l、mに直線nが交わってできる１組の錯角をα、βとするとき、

である

を証明することにする。

なお、記号は直線l、mが平行であることを示す。

いきなりこの定理は証明できないので、この定理の証明に使用する第２外角定理をまず証明する。

 

第２外角定理

△ABCにおいてα>βである。

【証明】

辺ACの中点をDとし、BDの延長上にBD=DEとなる点をとる。

条件より、

AD=DC

BD=DE

また、

∠ADE=∠CDB（対頂角相等）

したがって、

△ADE≡△CDB（二辺挟角）

したがって、

β=γ　　①

線分AEは線分ACと線分AFの間にあるので

γ<∠ACF=α　　②

①と②より

α>β

（証明終）

∠CBA=δとおくとき、同様に、α>δも成立する。

だから、上の定理は、外角はその内対角よりも大きいと言い換えることができる。

定理A

異なる２直線l、mに直線nが交わってできる１組の錯角をα、βとするとき、

である

上の定理の証明には背理法を使う。

【証明】

α=βで、直線lと直線mが平行でないとする。

直線lと直線mは平行でないから、直線lと直線mは交わる（平行の定義）。

この交点をCとする。

△ABCを考えると、第２外角定理よりα>βとなりα=βという仮定と反する。

よって、

である。

（証明終）

そして、上の定理と対頂角相等から次の系が証明される。

系

異なる２直線l、mに直線nが交わってできる１組の同位角をα、γとするとき、

である。

【略証】

仮定よりα=γ

対頂角相等よりγ=β

よって、α=β。

したがって

（略証終）

ここまでは、有名な平行線の公理、すなわち、

平行線の公理

直線外の１点を通り、その直線に平行な直線は１つであって、ただ１つに限る。

を必ずしも必要としない！！

つまり、

直線外の１点を通り、その直線に平行な直線が２本引けようが、３本引けようが、もっと多く引けようが、上の定理とその系は成り立つはずなんだにゃ。

ただし、上の定理とその系の逆、つまり、

定理

平行な２直線l、mが他の直線nに交わるとき、１組の錯角（または同位角）は等しい。

の証明には平行線公理が必要になる。

定理B

平行な２直線l、mが他の直線nに交わるとき、１組の錯角（または同位角）は等しい。

【証明】

直線lと直線mが平行で錯角α≠βとする。

α>βであるとする。

∠XAB=αの内部に∠YAB=βとなる角をとり、点A、Yを結ぶ直線l’を引く。

∠YAB=βだから、定理Aより直線l'は直線mと平行である。

しかし、

平行線の公理より、点Aを通り直線mに平行な直線は１つであるのに、直線lと直線l’の２本あることになり平行線の公理に反する。

α<βの時も同様。

したがって、α=βである。

（証明終）

直線lと直線mは平行に見えないかもしれないが(^^ゞ