第４回 平行四辺形の性質

第４回　平行四辺形の性質

平行四辺形の定義

平行四辺形とは、２組の対辺がそれぞれ平行である四角形である。

定理１１　平行四辺形になる条件

（１）　２組の対辺がそれぞれ平行（定義）

（２）　２組の対辺がそれぞれ等しい

（３）　２組の対角がそれぞれ等しい

（４）　１組の対辺が平行でかつ長さが等しい

（５）　対角線が互いに他を２等分する

【証明】

（１）⇒（２）

△ABDと△CDBに注目。

ABとDCは平行なので、∠ABD=∠CDB（錯角相等）。

ADとBC平行なので、∠BDA=∠BDC（錯角相等）。

BDは共通。

よって、一辺の長さと両端の角相等より△ABD≡△DCB。

したがって、AB=CD、AD=BC。

（２）⇒（３）

△ABCと△CDAに注目。

AB＝CD

BC＝DA

BDは共通。

三辺相等より△ABC≡△CDA。

よって、∠ABC=∠CDA

同様に、△ABD≡△CDB

よって、∠DAB＝∠BCD

（３）⇒（４）

四角形の内角の和が４直角、３６０°であるから、

条件より、

2(∠A+∠B)=360°

よって、∠A+∠B=180°

２点A、Bを通る直線を引くと、∠A+∠DAX=180°

よって、∠B=∠DAXとなり、同位角が等しいので、

ADとBCは平行　①

△ABDと△CDBに注目。

ADとBCは平行なので、

∠ABD=∠CBD　（錯角）

また、∠A=∠Cなので

∠BDA=∠DBC

BDは共通なので、

△ABD≡△CBD

よって、

AD=BC　②

①と②より、ADとBCは平行でかつAD=BC。

（４）⇒（５）

ADとBCは平行でかつ長さが同じと仮定する。

ADとBCは平行なので、∠DAC＝∠BCE、∠EDA＝∠EBC。

また、DA＝BD

よって

△AED≡△CEB

ゆえに、AE＝EC、BE＝ED。

よって、対角線を互いに他を２等分する。

（５）⇒（１）

対角線の交点をEとする。

条件よりAE=EC、BE=EC。

また、∠BEA=∠DEC。

よって、△BEA≡△DEC。

したがって、

∠ABE=∠CDE

∴　ABとDCは平行

同様に、△EDA≡△EBC。

∠DEA=∠BCE

∴　ADとBCは平行

(証明終わり）

このことから、（１）〜（５）は同値の命題であることがわかり、どれを平行四辺形の定義に使ってもいいことになる。

四角形の内角の和が４直角、３６０°であることは、四角形ABCDに対して対角線ACを引けば、四角形ABCDが△ABCと△CDAに分割されることから、ほとんど、明らかでしょう。

問題１

平行四辺形ABCDで、辺AD、BCの中点をそれぞれE、Fとし、AとF、CとEを結ぶとき、平行四辺形AFCEは平行四辺形であることを証明せよ。

【証明】

ADとBCは平行。よって、AEとFCは平行。

平行四辺形なので、AD=BC。

EはADの中点、FはBCの中点だから、

AEとFCは平行で、かつ、AE=FCなので、定理８の（４）より

四角形AFCEは平行四辺形である。

（証明終わり）

これは、あくまで、証明の一例にすぎない。次のような証明法もあるし、他にもある。

ADとBCは平行なので、∠FEA=∠EFC（錯角）。

条件よりAE=FC、FEは共通。

よって、２辺挟角相等より

△AFE≡△CEF

したがって、∠AFE=∠CEF。

よって、

AFとECは平行。

２組の対辺がそれぞれ平行なので、四角形AFCEは平行四辺形である。

問題２　図のように、△ABCの辺AB上の点PからACに平行に引いた直線と、∠BACの二等分線との交点をQとする。また、PからQCに引いた直線と辺ACとの交点をRとする。

このとき、AP=RCであることを証明せよ。

【証明】

PQとACは平行なので、

∠CAQ＝∠PQA　（錯角）

また、∠BACの二等分線なので

∠QAP=∠CAQ=∠PQA

よって、△PQAはPを頂点とする二等辺三角形。

したがって、

AP=PQ

四角形PQCRは平行四辺形なので
RC=PQ=AP

（証明終わり）