第１６回 第１５回の問題の別解

第１６回　第１５回の問題の別解

第１５回の解答とは違う解答を紹介することにする。

問題１

を示し、この値を求めよ。

【解】

t=π/2−xとおくと、x=0のときt=π/2、x=π/2のときt=0、また、dx=−dtだから

よって

である。

ここで、

とおくと、n≧2に対して

I₀とI₁を求めると

したがって、

nが偶数のとき

nが奇数のとき

である。

（解答終了）

問題２　次の等式が成立することを証明せよ。

【証明】

ベータ関数の三角関数表示は

p=qとすると

2θ=tとおくと、θ=0のときt=0、θ=π/2のときt=π、またdt=2dθだから

ここで、

と分解し、右辺第２項の積分に対して、s=π−tとして、置換積分を施す。

このとき、t=π/2のときs=π/2、t=πのときs=0、またdt=−dsだから

したがって、

よって、①は

ここで

と変形すると、

となる。

したがって

よって

（証明終）

ベータ関数とガンマ関数には

という関係がある。

の証明は、sintがt=π/2に対して対称だからでもOKだにゃ。