複素数を用いて極座標における速度、加速度を求める

複素数を用いて極座標における速度、加速度を求める

平面上を移動する動点Pの時刻tにおける位置ベクトルをrとすると、速度ベクトルv、加速度ベクトルaは次式で与えられる。

平面の基本ベクトルを、また、時刻tにおける点Pの座標を(x,y)とすれば、

となるので、

である。

速度ベクトルと加速度ベクトルを

とあらわせば、

から、

複素数zは、その実部をx、虚部をy、さらに虚数単位をi（i²=1）とすると、z=x+yiで表される。

そして、横軸に実軸、縦軸に虚軸をとると、複素数z=x+yiは右の図で示される。

右図を見ると、複素数が平面ベクトルと同等のものであることがわかると思う。

この手法を用いれば、

と速度ベクトル、加速度ベクトルを簡潔に表現できる。

右図に示すように、原点Oと点zと結ぶ線分と実軸のなす角度（反時計回りを角度の正の向きとする）θ、原点Oと点zとの線分の長さを

で定義することにする。

そうすると、zの実軸の成分x、虚軸の成分yは

となる。

つまり、

となる（極形式）。

これをオイラーの関係

で書き換えると、

となる。

これをtで微分すると、

ここで、記号「・」はtによる微分

である。

は大きさが１でと方向が同じベクトルと考えることができる。

また、

ベクトル(cosθ,sinθ)とベクトル(−sinθ,cosθ)の内積を取ると

となり、は直交している。

そして、その大きさは

で１。

も大きさが１だから、互いに直交する単位ベクトルを元にした座標を作ることができる。

この新たな座標は何かといえば、対応規則からあきらかなように、極座標！！

そこで、

をもう一度見なおすと、速度ベクトルvの基本ベクトル方向の成分は、基本ベクトル方向の成分はということになる。

そして、速度ベクトルvをさらに微分すると、

となることから、

以上のことをまとめると、

極座標における速度、加速度のr方向、θ方向の成分は

ここでは、が直交していることを内積を使って示したが、

だから、はを９０°、π/2(rad)回転させたもの。